Shapiro-Wilk検定でHolmの修正をする目的
3群以上の差の検定で，通常の2群比較検定を適用すると，｛群の数×（群の数-1）｝/2回，検定を繰り返します．ゆえに，多重比較が発生します．これに対して，Tukey法を代表とした多重比較法が考案され，活用されています．
それでは，3変数以上の差の検定を行いたいときはどうするかです．術前の血圧データ，術後1時間の血圧データ，術後半日の血圧データに対して，2変数間で差を検定したいときは，対応のあるt検定やWilcoxon検定を適用させますが，これでは多重比較の問題が発生します．しかし，対応のある変数間の差に対する多重比較法は存在しません．例えばTukey法は使えないのです．
同様に，他の検定を行う際に，いわゆる多重検定の問題があるとすれば，Tukey法のようなものは存在しませんので，通常の検定を行って（そこで終われば多重検定の問題），その後にp値を修正する方法が必要となってきます．
Bonferroniの修正
非常に多用されているp値の修正法です．2つの変数なりの検定を行ってp値が出力されたとき，多重検定の問題があるならば，そのp値を修正するのです．Bonferroniの修正を始めとした，以下で述べる修正法は，あらゆる検定に適用できます（2標本の差の検定でも良い）．以降では，差の検定を例に挙げて説明します．
術前の血圧データ，術後1時間の血圧データ，術後半日の血圧データの差を知りたいとします．術前の血圧と術後1時間の血圧の差について対応のあるt検定を行ったら，p=0.009だったとします．
術前の血圧と術後半日の血圧の差はp=0.01，術前の血圧と術後半日の血圧の差は，p＝0.03でした．
<対応のあるt検定の結果>
1.術前の血圧と術後1時間の血圧の差 p=0.009 →p<0.01で有意差あり
2.術前の血圧と術後半日の血圧の差 p=0.01 →p<0.05で有意差あり
3.術前の血圧と術後半日の血圧の差 p＝0.03 →p<0.05で有意差あり
この時点では，全ての期間で有意差ありです．しかし，このままだと多重比較が発生しているのです．
そこで強引ですが，「多重比較によって，これらのp値が低く出ているなら，p値に検定した数を掛けて修正してやろう．それでもp<0.05なら有意差ありと判断しよう」というわけです．うえで検定した数は3です．
<対応のあるt検定の結果をBonferroniの修正>
1.術前の血圧と術後1時間の血圧の差 p=0.009×3＝0.027 →p<0.05で有意差あり
2.術前の血圧と術後半日の血圧の差 p=0.01×3＝0.03 →p<0.05で有意差あり
3.術前の血圧と術後半日の血圧の差 p＝0.03×3＝0.09 →有意差なし
これで終了です．なぜp値に検定した数＝3を掛けるかの理由はともかく，大雑把な方法であることは間違いありません．群数が多くなると掛ける数も大きくなり，pはどんどん上がっていきます．つまり，有意差がでなくなっていきます（これを保守的といいます）．
Holmの修正
Holmの修正はBonferroniの修正の改良版です．改良版なので，「有意差が出にくくなる」欠点を補っています．Bonferroniの修正は，とにかく検定数を掛けるという強引な方法でp値を上げ，それが問題視されていました．まずは計算方法を，説明します．
①最初に，対応のあるt検定の結果でp値の小さい順に並べます．
②最も小さいp値に検定数を掛けます．これはBonferroniの修正と同一
③-1 最も小さいp値に検定数を掛けて，それがp<0.05なら，次の小さいp値を見ます．
③-2 最も小さいp値に検定数を掛けて，それが0.05以上なら残り全て同じp値として有意差なしです．
④-1 次に小さいp値に検定数-1を掛けて，それがp<0.05なら，3番目の小さいp値を見ます．
④-2 次に小さいp値に検定数-1を掛けて，それが0.05以上なら残り全て同じp値として有意差なし．
…と，これを最後まで繰り返します．
<対応のあるt検定の結果をHolmの修正>
1.術前の血圧と術後1時間の血圧の差 p=0.009×3＝0.027 →p<0.05で有意差ありなので次へ
2.術前の血圧と術後半日の血圧の差 p=0.01×2＝0.02 →p<0.05で有意差ありなので次へ
3.術前の血圧と術後半日の血圧の差 p＝0.03×1＝0.03 →p<0.05で有意差あり，終了．
以上のように，掛ける検定数を減らしていくので，p値を必要以上に抑制しなくなります．
なぜ，こんなことをするのかは，比較的単純で，A，B，C群の母平均をμA,μB，μCとすると，
帰無仮説族｛μA＝μB，μA＝μC，μB＝μC｝
を考えます．帰無仮説が3つあります（だから3回検定を行います）．
もし，μA≠μBだとすれば（上述の③-1），残りは帰無仮説族｛μA＝μC，μB＝μC｝の2個だけになるのでp値に2を掛けます（上述の④-1）．というふうに，繰り返していくだけです．
実際には，Rコマンダーが計算するので，理論・計算法は知らなくても問題ありません．
Shafferの修正
Shafferの修正は，Holmの修正よりも更に合理的で，適切な修正法です．
詳しくは，解説しませんが，基本的なものとして，以下のように計算します．
①最初に，対応のあるt検定の結果でp値の小さい順に並べます．
②最も小さいp値に検定数を掛けます．これはBonferroniの修正と同一
③-1 最も小さいp値にmを掛けて，それがp<0.05なら，次の小さいp値を見ます．
③-2 最も小さいp値にmを掛けて，それが0.05以上なら残り全て同じp値として有意差なしです．
…と，これを繰り返します．
以下の例では，m＝1として計算します．
<対応のあるt検定の結果をShafferの修正>
1.術前の血圧と術後1時間の血圧の差 p=0.009×3＝0.027 →p<0.05で有意差ありなので次へ
2.術前の血圧と術後半日の血圧の差 p=0.01×1＝0.01 →p<0.05で有意差ありなので次へ
3.術前の血圧と術後半日の血圧の差 p＝0.03×1＝0.03 →p<0.05で有意差あり，終了．
かなりp値の引き上げを抑制出来ています．ところでmというのは，何なのか？です．
これは，群の数によって異なります．
Holmの修正と同様に，A，B，C群の母平均をμA,μB，μCとすると，
帰無仮説族｛μA＝μB，μA＝μC，μB＝μC｝
を考えます．帰無仮説が3つあります（だから3回検定を行います）．
もし，μA≠μBだとすれば（上述の③-1），Holmの修正では，残り帰無仮説族｛μA＝μC，μB＝μC｝の2個だけになるのですが，μA≠μBであればμA＝μC，μB＝μCの2つは成立しません．μA≠μBであればμCがμAと等しい，かつμCがμBと等しいとは考えられません．どちらか1つだけです．そう考えると，最初は，何もわからないので｛μA＝μB，μA＝μC，μB＝μC｝の3つが成り立つ可能性はあるものの，どこか1つの組み合わせに有意差があるとわかれば，残りは1つだけです．そのために，ｍ＝1としました．
これは3群の差の検定なので，わかりやすいですが，4群以上になると複雑になってきます．Shafferの修正は，この後も様々な改良版が考案されています．
いまのところ，Rのパッケージとしては配布されていませんので，改変Rコマンダーでも多くの検定はHolmの修正で修正します．ただし，反復測定による分散分析，分割プロットの分散分析では，anovakunという関数を使用していますので，計算可能となっています．
その他の修正法
その他にも，p値を修正する方法はたくさんあります．どれを用いても間違いとは言えません．ただし，一般的に出回っている，ボンフェローニの不等式に基づく方法（Bonferroni，Holm，Shaffer）を用いるのが妥当です．それは，他者の報告と比較する際に，できるだけ同じ基準で有意性を判断する方が自然だからです．仮に全く同じデータを解析しても，手法によって微妙に結果が異なるものです．それでは，整合性が成立しません．ある学会ではTukey法を当たり前のように使っていたとして（これが正しいかは別です），私はホランドコペンハーバー法を使って有意差あり，といっても整合性がありません（もちろん，その方法が適切である理論的根拠が明確であればよいですが）．
そうした意味では，何が何でも統計解析は常に新しいものを活用すべき，とはいい切れない面もあります．
Shapiro-Wilk検定でHolmの修正は必要か？
それでは，シャピロウイルク検定のときに，Holmの修正は必要か，否かです．
結論としては，どちらも何とも言えない現状です．
身長，体重，年齢のデータに対して，相関係数を見るために，シャピロウイルク検定を適用します．
常識的に，身長，体重，年齢のデータの母集団が同一とは考えられません．cm，kg，歳という単位のデータは同一でしょうか？
しかし，A，B，C群の年齢に対して，シャピロウイルク検定を行い，差の検定や相関を求めるとき，多くのケースで多重性が発生します（そもそも群間の年代が違うのであれば別です）．
従って，Holmの修正を行うか否かは，使い分ける必要があり，その必要性は解析する人の考えで決まります．
